Question

已知離心率為的橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的最長距離為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）如圖，過橢圓的左焦點(diǎn)任作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的弦，若點(diǎn)在軸上，且使得為的一條內(nèi)角平分線，則稱點(diǎn)為該橢圓的“左特征點(diǎn)”，求橢圓的“左特征點(diǎn)”的坐標(biāo)．

 

Answer 1

【答案】

（1）橢圓的方程為，其準(zhǔn)線方程為；(2)．

【解析】

試題分析：（1）由題意知：，解得，，

故橢圓的方程為，其準(zhǔn)線方程為       4分

(2)設(shè)為橢圓的左特征點(diǎn)，橢圓的左焦點(diǎn)為，可設(shè)直線的方程為：，

聯(lián)立方程組，消去得，即，

設(shè)，則

∵被軸平分，∴，即，

，

即，

∴于是，

∵，∴，即，∴．

考點(diǎn)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，三角形面積計算。

點(diǎn)評：中檔題，不必太其橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，主要運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì)，a,b,c,e的關(guān)系。曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題（2）涉及新定義問題，注意理解其實(shí)質(zhì)內(nèi)容。