Question

已知正四棱錐相鄰兩側面的夾角是120°，它的底面邊長為a，求棱錐的高、斜高、側棱長．

Answer 1

答案：
解析：

解：如圖所示，由題意可知，要求的斜高、高、側棱長只要有一個求出，其他兩個便可以在相應的直角三角形中求出．解決本題的突破口在于找出二面角的平面角，由此可得到一些線段的關系．在Rt△AEO中，AE，OE可以求出，從而BE可求出，再由Rt△SBG∽Rt△CBE知，斜高SG可求出． 　　過點S作SO⊥底面AC，SG⊥BC，O，G為垂足，過點A作AE⊥SB，垂足為點E，連結CE 　　∵　△SAB≌△SBC 　　∴　CE⊥SB(由對稱性) 　　∴　∠AEC=120° 　　連結EO 　　∵　AO=OC，AE=EC 　　∴　∠AEO=60° 　　在Rt△BOG中，BG=，∠OBG=45° 　　∴　BO= 　　在Rt△AOE中 　　OE= 　　AE= 　　BE= 　　∵　△SBG∽△CBE 　　∴　 　　即 　　∴　SG= 　　在Rt△SBG中 　　SB= 　　　 　　在Rt△SOG中 　　SO= 　　　 　　∴　棱錐的斜高為，高為，側棱長為．