Question

已知lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)．
(1)求xy的最小值；
(2)求x＋y的最小值．

Answer 1

（1）1   （2）2

解：由lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)得
(1)∵x>0，y>0，
∴3xy＝x＋y＋1≥2＋1，
∴3xy－2－1≥0，
即3()²－2－1≥0，
∴(3＋1)(－1)≥0，
∴≥1，∴xy≥1，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時(shí)，等號(hào)成立．
∴xy的最小值為1.
(2)∵x>0，y>0，
∴x＋y＋1＝3xy≤3·()²，
∴3(x＋y)²－4(x＋y)－4≥0，
∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0，
∴x＋y≥2，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時(shí)取等號(hào)，
∴x＋y的最小值為2.