Question

（2013•哈爾濱一模）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系xOy 中，直線l 的參數(shù)方程為

x=-2-t y=2- 3 t

（t 為參數(shù)），直線l與曲線C：（y-2）²-x²=1交于A，B兩點
（1）求|AB|的長；
（2）在以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，設點P的極坐標為(2

2

，

3π

4

)，求點P到線段AB中點M的距離．

Answer 1

分析：（1）化直線的參數(shù)方程為普通方程，和曲線方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)的關系寫出兩個交點的橫坐標的和與積，利用弦長公式求|AB|的長；
（2）結合（1）由中點坐標公式求出M的坐標，化P的極坐標為直角坐標，然后直接利用兩點間的距離公式求解．

解答：解：（1）由

x=-2-t y=2- 3 t

，得y=

3

x+2+2

3

，
代入（y-2）²-x²=1，得2x²+12x+11=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則x1+x2=-6，x1x2=

11

2

．
所以|AB|=

1+( 3 )2

|x1-x2|
=2

(x1+x2)2-4x1x2

=2

(-6)2-4× 11 2

=2

14

；
（2）設AB中點M（x₀，y₀），由（1）知，
x0=

x1+x2

2

=

-6

2

=-3，
y0=

y1+y2

2

=

3 (x1+x2)+4+4 3

2

=

-6 3 +4+4 3

2

=2-

3

．
所以 M（-3，2-

3

）．
因為點P的極坐標為(2

2

，

3π

4

)，
所以P的直角坐標為（2

2

cos

3π

4

，2

2

sin

3π

4

）=（-2，2）．
所以點P到線段AB中點M的距離為

(-3+2)2+(- 3 )2

=2．

點評：本題考查了參數(shù)方程化為普通方程，考查了極坐標化為直角坐標，考查了直線與圓錐曲線的位置關系，訓練了根與系數(shù)的關系，考查了弦長公式的運用，是中檔題．