Question

【題目】已知函數(shù)

（I）討論的單調(diào)性；

（II）當，是否存在實數(shù)，使得，都有？若存在求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（I）當，在為增函數(shù)；當，在為增函數(shù)，在為減函數(shù)； （II） .

【解析】

（I）先求得函數(shù)的定義域，對其求導(dǎo)后對分成兩類，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（II）將不等式等價轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用其導(dǎo)數(shù)恒為非負數(shù)列不等式，分離常數(shù)后利用基本不等式求得的取值范圍.

（I） 的定義域為

，

當，則，在為增函數(shù)，

，令，解得或（舍去），

所以，當 ，，在為增函數(shù)；

當 ，，在為減函數(shù)，

綜上所述，當，在為增函數(shù)；

當，在為增函數(shù)，在為減函數(shù)。

（II）不妨設(shè)，則，

假設(shè)存在實數(shù)，使得 ，都有，

則恒成立，

即恒成立，（*）

設(shè)，即（*）等價于在為單調(diào)遞增

等價于在恒成立，

等價于在恒成立，

等價于在恒成立，

∴，當且僅當取等號，

∴，∴的取值范圍為