Question

設(shè)P：關(guān)于x的y=a^x（a＞0且a≠1）是R上的減函數(shù)．Q：函數(shù)y=lg（ax²-x+a）的定義域?yàn)镽．如果P和Q有且僅有一個正確，求a的取值圍．

Answer 1

分析：由函數(shù)y=a^x（a＞0且a≠1）是R上的減函數(shù)可得P；由函數(shù)y=lg（ax²-x+a）的定義域?yàn)镽．可得ax²-x+a＞0恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求Q，而P和Q有且僅有一個正確即是①P正確而Q不正確，②Q正確而P不正確，兩種情況可求a的范圍

解答：解：由函數(shù)y=a^x（a＞0且a≠1）是R上的減函數(shù)可得，0＜a＜1
即使P正確的a的取值范圍是：0＜a＜1（2分）
由函數(shù)y=lg（ax²-x+a）的定義域?yàn)镽．可得ax²-x+a＞0恒成立
（1）當(dāng)a=0時(shí)，ax²-x+a=-x不能對一切實(shí)數(shù)恒大于0．
（2）當(dāng)a≠0時(shí)，由題意可得，△=1-4a²＜0，且a＞0
∴a＞

1

2

故Q正確：a＞

1

2

（4分）
①若P正確而Q不正確，則

0＜a＜1 a≤ 1 2

即0＜a≤

1

2

，（6分）
②若Q正確而P不正確，則

a＞ 1 2 a＞1

即a＞1，（8分）
故所求的a的取值范圍是：0＜a≤

1

2

或a＞1（10分）

點(diǎn)評：本題主要考查了復(fù)合命題的真假判斷的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練利用函數(shù)的性質(zhì)準(zhǔn)確求出使得P，Q正確的所對應(yīng)的a的范圍．