Question

（理）已知{a_n}是公差不為零的等差數(shù)列，a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列{

1

a 2 n

}的前n項和為T_n，證明T_n＜

7

4

．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：a₃=a₁+2d，a₉=a₁+8d．結(jié)合a₁、a₃、a₉成等比數(shù)列，得到d．進而求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）根據(jù)（1）中得出的數(shù)列{a_n}的通項公式，從而求得數(shù)列{

1

a 2 n

}的通項公式，再利用拆項法求出其前n項和即可證得結(jié)論．

解答：解：（1）由題設(shè)知公差d≠0，
由a₁=1，a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列得

1+2d

1

=

1+8d

1+2d

，…（4分）
解得d=1，d=0（舍去），…（4分）
故{a_n}的通項a_n=1+（n-1）×1=n．                         …（5分）
（2）（理）∵n≥2時，

1

a 2 n

=

1

n2

＜

1

(n-1)n

=

1

(n-1)

-

1

n

，…（7分）
∴Tn=

1

12

+

1

22

+

1

32

+

1

42

+…

1

n2

＜1+

1

4

+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…(

1

n-1

-

1

n

)=

7

4

-

1

n

．
∵n∈N^*，∴Tn＜

7

4

．…（10分）

點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列與等差數(shù)列的性質(zhì)，利用性質(zhì)解決問題．另外裂項求和是常考數(shù)列求和的方法，并通過放縮法證明不等式．此題非常好，很典型．