Question

（理）已知{a_n}是公差不為零的等差數(shù)列，a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為T_n，證明T_n＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得：a₃=a₁+2d，a₉=a₁+8d．結(jié)合a₁、a₃、a₉成等比數(shù)列，得到d．進(jìn)而求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）根據(jù)（1）中得出的數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，從而求得數(shù)列{}的通項(xiàng)公式，再利用拆項(xiàng)法求出其前n項(xiàng)和即可證得結(jié)論．
解答：解：（1）由題設(shè)知公差d≠0，
由a₁=1，a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列得，…（4分）
解得d=1，d=0（舍去），…（4分）
故{a_n}的通項(xiàng)a_n=1+（n-1）×1=n．                         …（5分）
（2）（理）∵n≥2時(shí)，，…（7分）
∴．
∵n∈N^*，∴．…（10分）
點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列與等差數(shù)列的性質(zhì)，利用性質(zhì)解決問(wèn)題．另外裂項(xiàng)求和是�？紨�(shù)列求和的方法，并通過(guò)放縮法證明不等式．此題非常好，很典型．