Question

已知直線y=2x+1與拋物線x²=4y交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．點(diǎn)C位于拋物線弧AOB上，求點(diǎn)C坐標(biāo)使得△ABC面積最大．

Answer 1

分析：直線為y=2x+1，要使得內(nèi)接△ABC面積最大，則只須使得過(guò)C（x_c，y_c）點(diǎn)的切線與直線y=2x+1平行，由導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)能求出C位于（4，4）點(diǎn)處時(shí)，△ABC面積最大．

解答：解：∵直線為y=2x+1，
∴要使得內(nèi)接△ABC面積最大，則只須使得過(guò)C（x_c，y_c）點(diǎn)的切線與直線y=2x+1平行，
∵x²=4y，
∴y=

x2

4

，
∵y′=

1

4

×2x，直線y=2x+1的斜率為2，
∴過(guò)C（x_c，y_c）點(diǎn)的切線斜率k=y_c^′=

1

4

×2xc=2，
解得x_c=4，則可得y_c=4
∴C位于（4，4）點(diǎn)處時(shí)，△ABC面積最大．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．