Question

．（本題滿分16分）

    已知各項均不為零的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1＝c，2Sn＝anan＋1＋r．

   （1）若r＝－6，數(shù)列{an}能否成為等差數(shù)列？若能，求滿足的條件；若不能，請說明理由．

   （2）設(shè)，，

        若r＞c＞4，求證：對于一切n∈N*，不等式恒成立．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）n＝1時，2a1＝a1a2＋r，∵a1＝c≠0，∴2c＝ca2＋r，．  （1分）

n≥2時，2Sn＝anan＋1＋r，①    2Sn－1＝an－1an＋r，②

①－②，得2an＝an(an＋1－an－1)．∵an≠0，∴an＋1－an－1＝2．        （ 3分）

    則a1，a3，a5，…，a2n－1，… 成公差為2的等差數(shù)列，a2n－1＝a1＋2(n－1)．

a2，a4，a6，…，a2n，… 成公差為2的等差數(shù)列， a2n＝a2＋2(n－1)．

要使{an}為等差數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)a2－a1＝1．即．r＝c－c2．  （ 4分）

    ∵r＝－6，∴c2－c－6＝0，c＝－2或3．

∵當(dāng)c＝－2，，不合題意，舍去.

∴當(dāng)且僅當(dāng)時，數(shù)列為等差數(shù)列       （5分）

（2）＝[a1＋2(n－1)]－[a2＋2(n－1)]＝a1－a2＝－2．

＝[a2＋2(n－1)]－（a1＋2n）＝a2－a1－2＝－()． （8分）

∴        （9分）

．  （10分）

＝．（11分）

∵r＞c＞4，∴＞4，∴＞2．

∴0＜＜1． （13分）

且＞－1．  （14分）

又∵r＞c＞4，∴，則0＜．．

∴＜1．．∴＜1．（15分）

∴對于一切n∈N*，不等式恒成立．（16分）

 

【解析】略