Question

【題目】已知函數(shù)，實(shí)數(shù)且．

（1）設(shè)，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；

（2）設(shè)且時(shí)，的定義域和值域都是，求的最大值；

（3）若不等式對(duì)恒成立，求的范圍．

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析；（2）；（3）且

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義作差判斷函數(shù)單調(diào)性；

（2）根據(jù)單調(diào)性確定，，再轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)方程實(shí)根分布問(wèn)題，根據(jù)韋達(dá)定理以及求根公式得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，最后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值得結(jié)果；

（3）先根據(jù)絕對(duì)值定義化簡(jiǎn)不等式，變量分離轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)函數(shù)最值，

（1）設(shè)，則，

∵，，∴，，∴，

即，因此函數(shù)在上的單調(diào)遞增．

（2）由（1）及的定義域和值域都是得，，

因此，是方程的兩個(gè)不相等的正數(shù)根，

等價(jià)于方程有兩個(gè)不等的正數(shù)根，

即且且，

解得，

∴，

∵，∴時(shí)，最大值為．

（3），則不等式對(duì)恒成立，

即，即不等式對(duì)恒成立，

令，易證在遞增，同理在遞減．

∴，，

∴，∴且.