Question

某養(yǎng)殖廠需定期購(gòu)買飼料，已知該廠每天需要飼料200千克，每千克飼料的價(jià)格為1.8元，飼料的保管費(fèi)與其他費(fèi)用平均每千克每天0.03元，購(gòu)買飼料每次支付運(yùn)費(fèi)300元．
(1)求該廠多少天購(gòu)買一次飼料才能使平均每天支付的總費(fèi)用最少；
(2)若提供飼料的公司規(guī)定，當(dāng)一次購(gòu)買飼料不少于5噸時(shí)，其價(jià)格可享受八五折優(yōu)惠(即原價(jià)的85%)．問(wèn)：該廠是否應(yīng)考慮利用此優(yōu)惠條件？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）10天（2）利用

(1)設(shè)該廠x(x∈N^*)天購(gòu)買一次飼料平均每天支付的總費(fèi)用最少，平均每天支付的總費(fèi)用為y₁.
∵飼料的保管費(fèi)與其他費(fèi)用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，
∴x天飼料的保管費(fèi)與其他費(fèi)用共是
6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝3x²－3x(元)．
從而有y₁＝ (3x²－3x＋300)＋200×1.8＝＋3x＋357≥417，當(dāng)且僅當(dāng)＝3x，
即x＝10時(shí)，y₁有最小值．
故該廠10天購(gòu)買一次飼料才能使平均每天支付的總費(fèi)用最少．
(2)設(shè)該廠利用此優(yōu)惠條件，每隔x天(x≥25)購(gòu)買一次飼料，平均每天支付的總費(fèi)用為y₂，則y₂＝ (3x²－3x＋300)＋200×1.8×0.85＝＋3x＋303(x≥25)．
令f(x)＝＋3x(x≥25)，
∵f′(x)＝－＋3，
∴當(dāng)x≥25時(shí)，f′(x)＞0；當(dāng)x≥25時(shí)，函數(shù)f(x)與y₂是增函數(shù)．
∴當(dāng)x＝25時(shí)，y₂取得最小值，最小值為390.
∵390＜417，∴該廠應(yīng)考慮利用此優(yōu)惠條件．