Question

如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為DD₁上的點(diǎn)、F為DB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求直線B₁F與平面CDD₁C₁所成角的正弦值；
（Ⅱ）若直線EF∥平面ABC₁D₁，試確定點(diǎn)E的位置．

Answer 1

（Ⅰ）∵平面ABB₁A₁∥平面CDD₁C₁
∴直線B₁F與平面CDD₁C₁所成角等于直線FB₁與平面ABB₁A₁所成的角（2分）
取AB中點(diǎn)P，連接FP和B₁P
由已知可得FP⊥AB，F(xiàn)P⊥BB₁，故FP⊥平面ABB₁A₁
∴B₁F與平面ABB₁A₁所成的角即為∠FB₁P（4分）
在Rt△FPB₁中，sin∠FB1P=

FP

FB1

=

6

6

即B₁F與平面CDD₁C₁所成角的正弦值為

6

6

．（6分）
（Ⅱ）連接BD₁，則平面BDD₁B₁過EF與平面ABC₁D₁交于BD₁
由EF∥平面ABC₁D₁可得EF∥BD₁
又因?yàn)镕為DB的中點(diǎn)
故得E也必須為DD₁的中點(diǎn)．（12分）