Question

已知側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，且∠DAB=60°，AD=AA₁=a，F(xiàn)為棱BB₁的中點(diǎn)．
（1）求證：直線BD∥平面AFC₁；
（2）求證：平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁；．
（3）求三棱錐A₁-AC₁F的體積．

Answer 1

分析：（1）延長C₁F交CB的延長線于點(diǎn)N，連結(jié)AN，設(shè)M是線段AC₁的中點(diǎn)，連結(jié)MF，易證MF∥AN，AN∥BD，從而BD∥MF，由線面平行的判斷定理即可證得BD∥平面AFC₁；
（2）連結(jié)BD，易證BD⊥平面ACC₁A₁，而NA∥BD，從而有NA⊥平面ACC₁A₁，由面面垂直的判定定理即可證得平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁；
（3）由（2）知BD⊥平面ACC₁A₁，MF∥BD，從而得MF⊥平面AC₁A₁．利用錐體的體積輪換公式VA1-AC1F=VF-A1AC1即可求得三棱錐A₁-AC₁F的體積．

解答：（1）證明：延長C₁F交CB的延長線于點(diǎn)N，連結(jié)AN．因?yàn)镕是BB₁的中點(diǎn)，所以F為C₁N的中點(diǎn)，B為CN的中點(diǎn)．設(shè)M是線段AC₁的中點(diǎn)，連結(jié)MF，則MF∥AN．…（2分）
∵B為CN的中點(diǎn)，四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥NB且AD=NB，
四邊形ANCD是平行四邊形，AN∥BD，…（3分）
∴MF∥BD，
又∵M(jìn)F?平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴BD∥平面AFC₁；                                      …（4分）
（2）證明：（如上圖）連結(jié)BD，由直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，可知：A₁A⊥平面ABCD，
又∵BD?平面ABCD，
∴A₁A⊥BD．
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC⊥BD．
又∵AC∩A₁A=A，AC、A₁A?平面ACC₁A₁，
∴BD⊥平面ACC₁A₁．…（7分）
而NA∥BD，
∴NA⊥平面ACC₁A₁．
又∵NA?平面AFC₁，
∴平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁                                           …（9分）
（3）解：由（2）知BD⊥平面ACC₁A₁，MF∥BD，
∴MF⊥平面AC₁A₁．…（10分）
∵∠DAB=60°，AD=AA₁=a，
∴三棱錐A₁-AC₁F的體積VA1-AC1F=VF-A1AC1=

1

3

（

1

2

×a×

3

a）×

a

2

=

3 a3

12

…（12分）

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的判定，考查平面與平面垂直的判斷及棱錐的體積，考查推理分析與運(yùn)算能力，考查等價轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的綜合運(yùn)用，屬于難題．