Question

已知側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD＝AA₁=2，F為棱BB₁的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AC₁的中點(diǎn)．　

（1）求證：直線MF∥平面ABCD；

（2）求點(diǎn)A₁到平面AFC₁的距離。

（3）求平面AFC₁與平面ABCD所成的銳二面角的大小．

Answer 1

 (1)證明：延長(zhǎng)C₁F交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連結(jié)AN.因?yàn)?i>F是BB₁的中點(diǎn)，所以F為C₁N的中點(diǎn)，B為CN的中點(diǎn)．又M是線段AC₁的中點(diǎn)，故MF∥AN.

又∵MF⊄平面ABCD，AN⊂平面ABCD，

∴MF∥平面ABCD.

(2)證明：(如上圖)連結(jié)BD，由直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁，可知：A₁A⊥平面ABCD，

又∵BD⊂平面ABCD，

∴A₁A⊥BD.

∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD.

又∵AC∩A₁A＝A，AC、A₁A⊂平面ACC₁A₁，

∴BD⊥平面ACC₁A₁.

在四邊形DANB中，DA∥BN且DA＝BN，

所以四邊形DANB為平行四邊形．

故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC₁A₁.

又∵NA∥MF，∴MF⊥平面ACC₁A₁.，

由，可得：

點(diǎn)A₁到平面AFC₁的距離為

(3)解：由(2)知BD⊥平面ACC₁A₁，

又AC₁⊂平面ACC₁A₁，

∴BD⊥AC₁，∵BD∥NA，∴AC₁⊥NA.

又因BD⊥AC可知NA⊥AC，

∴∠C₁AC就是平面AFC₁與平面ABCD所成銳二面角的平面角．

在Rt△C₁AC中，tan∠C₁AC＝＝，故∠C₁AC＝30°.

∴平面AFC₁與平面ABCD所成銳二面角的大小為30°.