Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=kx，
（1）求函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若不等式f（x）≥g（x）在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，求k的取值范圍；
（3）求證： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ （x＞0），∴ ，令g'（x）＞0，得0＜x＜e，

故函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，e）

（2）解：由 ，則問題轉(zhuǎn)化為k大于等于h（x）的最大值．

又 ，令 ．

當(dāng)x在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)變化時(shí)，h'（x）、h（x）變化情況如下表：

x	（0， ）		（ ，+∞）
h'（x）	+	0	﹣
h（x）	↗		↘

由表知當(dāng) 時(shí)，函數(shù)h（x）有最大值，且最大值為 ，因此k≥

（3）解：由 ≤ ，∴ ＜ （x≥2），

∴ ＜ ．

又∵ ＜ =

1﹣ + + +…+ =1﹣ ＜1，

∴ ＜

【解析】（1）由g'（x）＞0，解得x的范圍，就是函數(shù)的增區(qū)間．（2）問題轉(zhuǎn)化為k大于等于h（x）的最大值，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)h（x）有最大值，且最大值為 ，得到 k≥ ．（3）先判斷 ＜ （x≥2），得 ＜ ，
用放縮法證明 ＜1，即得要證的不等式．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．