Question

已知定義在區(qū)間[0，1]上的函數(shù)y=f（x）的圖象如圖所示，對于滿足0＜x₁＜x₂＜1的任意x₁，x₂，給出下列結(jié)論：
①f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁；
②[f（x₂）-f（x₁）]•（x₂-x₁）＜0；
③x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）；
④

f(x1)+f(x2)

2

＜f(

x1+x2

2

)．
其中正確的結(jié)論的序號是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意可作出函數(shù)y=f（x）的圖象，利用直線的斜率的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合的思想研究函數(shù)的單調(diào)性與最值即可得到答案．

解答：解：由函數(shù)y=f（x）的圖象可得，
當(dāng)0＜x₁＜x₂＜1時，0＜f（x₁）＜f（x₂）＜1，
[f（x₂）-f（x₁）]•（x₂-x₁）＞0，故②錯誤；
函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，1]上的圖象如下：


對于①設(shè)曲線y=f（x）上兩點A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），直線AB的斜率k_AB=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜k_op=1，
∴f（x₂）-f（x₁）＜x₂-x₁，故①錯誤；
對于③，由圖可知，k_oA＞k_oB，即

f(x1)

x1

＞

f(x2)

x2

，0＜x₁＜x₂＜1，于是有x₂f（x₁）＞x₁f（x₂），故③正確；
對于④，設(shè)AB的中點為R，則R（

x1+x2

2

，

f(x1)+f(x2)

2

），

AB

的中點為S，則S（

x1+x2

2

，f(

x1+x2

2

)），
顯然有

f(x1)+f(x2)

2

＜f(

x1+x2

2

)，即④正確．
綜上所述，正確的結(jié)論的序號是③④．

點評：本題考查函數(shù)的圖象，著重考查直線的斜率的幾何意義，考察函數(shù)的單調(diào)性，突出考查作圖象的能力與數(shù)形結(jié)合解決問題的能力，屬于中檔題．