Question

【題目】對(duì)于函數(shù)y=f（x），若在其定義域內(nèi)存在x0 ， 使得x0f（x0）=1成立，則稱(chēng)x0為函數(shù)f（x）的“反比點(diǎn)”．下列函數(shù)中具有“反比點(diǎn)”的是
①f（x）=﹣2x+2； ②f（x）=sinx，x∈[0，2π]；
③f（x）=x+ ， x∈（0，+∞）；④f（x）=ex； ⑤f（x）=﹣2lnx．

Answer 1

【答案】①②④
【解析】①由
則①具有“反比點(diǎn)”．
②設(shè)h（x）=xsinx﹣1，∵h(yuǎn)（0）=﹣1＜0， ，
∴h（x）=xsinx﹣1=0xsinx=1在上有解，所以②具有“反比點(diǎn)”．
③由（0，+∞），所以③不具有“反比點(diǎn)”；
④若xex=1令g（x）=xex﹣1，g（0）=﹣1＜0，g（1）=e﹣1＞0④具有“反比點(diǎn)”
⑤若在（0，+∞）上 有解，
令h（x）=xlnxh'（x）=lnx+1=0x=e﹣1 ，
可得h（x）在x=e﹣1有最小值﹣e﹣1 ， 而 ， 所以⑤不具有“反比點(diǎn)”，
所以答案是：①②④
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的值的相關(guān)知識(shí)，掌握函數(shù)值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數(shù)法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數(shù)的單調(diào)性法．