Question

已知A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-1，0），（3，-1），（1，2），

AE

=

1

3

AC

，

BF

=

1

3

BC

（1）求點(diǎn)E、F及向量

EF

的坐標(biāo)；
（2）求證：

EF

∥

AB

．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo)為（a，b），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x，y），則由

AE

=

1

3

AC

 求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，同理求得
點(diǎn)F的坐標(biāo)，可得

EF

 的坐標(biāo)．
（2）求出

AB

 和

EF

 的坐標(biāo)，再根據(jù)兩個(gè)向量共線的條件可得

EF

∥

AB

．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（a，b），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x，y），
則由

AE

=

1

3

AC

 可得 （a+1，b）=

1

3

（1+1，2-0）=

1

3

（2，2），
故有

a+1= 2 3 b= 2 3

，解得 

a=- 1 3 b= 2 3

，即點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-

1

3

，

2

3

）．
由

BF

=

1

3

BC

，可得（x-3，y+1）=

1

3

（-2，3），
∴

x-3=- 2 3 y+1=1

，∴

x= 7 3 y=0

，即點(diǎn)F的坐標(biāo)為 （

7

3

，0），
故

EF

=（

8

3

，-

2

3

）．
（2）由于

AB

=（4，-1），

EF

=（

8

3

，-

2

3

），
滿足4×（-

2

3

）-（-1）×

8

3

=0，
故

EF

∥

AB

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．