Question

（2013•梅州二模）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若存在常數(shù)M＞0，使得|f（x）|≤M|x|對(duì)一切的實(shí)數(shù)x都成立，則稱f（x）為“倍約束函數(shù)”．現(xiàn)給出下列函數(shù)：①f（x）=2x，②f（x）=x²+1，③f（x）=sinx+cosx，④＜“m“：math dsi：zoomscale=150 dsi：_mathzoomed=1＞f（x）=xx2-x+3f(x)=

x

x2-x+3

，⑤f（x）是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，且對(duì)一切的x₁，x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|．其中是“倍約束函數(shù)”的有（　　）

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：本題考查閱讀題意的能力，根據(jù)“倍約束函數(shù)”，的定義進(jìn)行判定：對(duì)①f（x）=2x，易知存在K=2符合題意；②由基本不等式，易得

|f(x)|

|x|

≥2恒成立；③令x=0時(shí)即可得出結(jié)論對(duì)；④中求出

|f(x)|

|x|

的值域，可得結(jié)論；⑤通過(guò)取x₂=0，如此可得到正確結(jié)論．

解答：解：∵對(duì)任意x∈R，存在正數(shù)M，都有|f（x）|≤M|x|成立
∴對(duì)任意x∈R，存在正數(shù)K，都有 M≥

|f(x)|

|x|

成立
∴對(duì)于①f（x）=2x，易知存在M=2符合題意；
對(duì)于②，

|f(x)|

|x|

=

x2+1

|x|

=|x|+

1

|x|

≥2，故不存在滿足條件的M值，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，f（x）=sinx+cosx，由于x=0時(shí)，|f（x）|≤M|x|不成立，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④f(x)=

x

x2-x+3

，

|f(x)|

|x|

=

1

|x2-x+3|

≤

4

11

恒成立，故④正確；
對(duì)于⑤，當(dāng)x₁=x，x₂=0時(shí)，由|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|得到|f（x）|≤2|x|成立，這樣的M存在，故⑤正確；
故是“倍約束函數(shù)”的函數(shù)有3個(gè)
故選C．

點(diǎn)評(píng)：題屬于開(kāi)放式題，題型新穎，考查數(shù)學(xué)的閱讀理解能力．知識(shí)點(diǎn)方面主要考查了函數(shù)的最值及其幾何意義，考生需要有較強(qiáng)的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，對(duì)選支逐個(gè)加以分析變形，利用函數(shù)、不等式的進(jìn)行檢驗(yàn)，方可得出正確結(jié)論．