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        1. 設(shè)函數(shù)f(x)是定義在[-1,0)∪(0,1]上的奇函數(shù),當(dāng)x∈[-1,0)時(shí),f(x)=
          a
          x
          -x2
          (a為實(shí)數(shù)).
          (1)若f(
          1
          2
          )=-2
          ,求a的值;
          (2)當(dāng)x∈(0,1]時(shí),求f(x)的解析式;
          (3)當(dāng)a>2時(shí),試判斷f(x)在(0,1]上的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論.
          分析:(1)根據(jù)f(x)是奇函數(shù),可得f(-
          1
          2
          )=-f(
          1
          2
          )=2
          ,解方程求得a的值.
          (2)設(shè)x∈(0,1],則-x∈[-1,0),故有 f(-x)=-
          a
          x
          -x2
          ,根據(jù)奇函數(shù)的定義解出f (x).
          (3)當(dāng)a>2時(shí),f(x)在(0,1]上單調(diào)遞減,設(shè)x1,x2∈(0,1]且x1<x1,可證得f(x1)-f(x2)>0,
          可得結(jié)論成立.
          解答:解:(1)∵f(x)是奇函數(shù),∴f(-
          1
          2
          )=-f(
          1
          2
          )=2
          -2a-
          1
          4
          =2
          ,∴a=-
          9
          8

          (2)設(shè)x∈(0,1],則-x∈[-1,0),∴f(-x)=-
          a
          x
          -x2
          ,∵f (x)是奇函數(shù),
          ∴f(-x)=f(x),∴f(x)=
          a
          x
          +x2

          (3)當(dāng)a>2時(shí),f(x)在(0,1]上單調(diào)遞減.
          證明:設(shè)x1,x2∈(0,1]且x1<x2,
           則   f(x1)-f(x2)=(
          a
          x1
          +x12)-(
          a
          x2
          +x22)=a(
          1
          x1
          -
          1
          x2
          )+(x12-x22)
          =
          x1-x2
          x1x2
          •[x1x2•(x1+x2)-a]
          ,
          ∵x1,x2∈(0,1],∴
          x1-x2
          x1x2
          <0
          ,x1x2•(x1+x2)∈(0,2),
          當(dāng)a>2時(shí),x1x2•(x1+x2)-a<0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
          ∴當(dāng)a>2時(shí),f(x)在(0,1]上單調(diào)遞減.
          點(diǎn)評:本題考查奇函數(shù)的定義,函數(shù)單調(diào)性的定義和證明方法,求函數(shù)的解析式是解題的難點(diǎn),屬于中檔題.
          練習(xí)冊系列答案
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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)是定義在(-∞,+∞)上的增函數(shù),如果不等式f(1-ax-x2)<f(2-a)對于任意x∈[0,1]恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)是定義在(0,+∞)上的減函數(shù),并且滿足f(xy)=f(x)+f(y),f(
          1
          3
          )=1

          (1)求f(
          1
          9
          )

          (2)若f(x)+f(2-x)<2,求x的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)是定義在[-1,0)∪(0,1]上的偶函數(shù),當(dāng)x∈[-1,0)時(shí),f(x)=x3-ax(a∈R).
          (1)當(dāng)x∈(0,1]時(shí),求f(x)的解析式;
          (2)若a>3,試判斷f(x)在(0,1]上的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;
          (3)是否存在a,使得當(dāng)x∈(0,1]時(shí),f(x)有最大值1?

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)是定義在[a,b]上的奇函數(shù),則f(a+b)=
          0
          0

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù).若當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=
          |1-
          1
          x
          0
          x>0;,
          x=0.

          (1)求f(x)在(-∞,0)上的解析式.
          (2)請你作出函數(shù)f(x)的大致圖象.
          (3)當(dāng)0<a<b時(shí),若f(a)=f(b),求ab的取值范圍.
          (4)若關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解,求b,c滿足的條件.

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          同步練習(xí)冊答案