Question

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數(shù)，并且滿足f(xy)=f(x)+f(y)，f(

1

3

)=1
（1）求f(

1

9

)；
（2）若f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對題設(shè)條件中的恒等式進行賦值，即可求出f（

1

9

）的值；
（2）利用題設(shè)條件將f（x）+f（2-x）＜2這為f[x（2-x）]＜f（

1

9

），再利用函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數(shù)解不等式

解答：解：（1）由已知，令x=y=

1

3

，則f（

1

9

）=f（

1

3

）+f（

1

3

）=2．
（2）∵f（x）+f（2-x）=f[x（2-x）]＜2=f（

1

9

），
又由函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數(shù)：得

x＞0 2-x＞0 x(2-x)＞ 1 9

解之得：x∈(1-

2 2

3

，1+

2 2

3

)．

點評：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查了根據(jù)恒等式的形式以及要求的值靈活賦值求函數(shù)值的能力，以及利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式的能力，求解本題的關(guān)鍵是恰當賦值，求解第二問時恰當?shù)淖冃问墙忸}的關(guān)鍵，在根據(jù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化時要注意轉(zhuǎn)化的等價，不要忘記定義域的限制條件．