Question

【題目】橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線與橢圓交于點，，的周長為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若.①當(dāng)時，求直線的方程；

②證明是定值，并求出此定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①或；②證明見解析，.

【解析】

（1）根據(jù)周長和焦點坐標(biāo)可得到關(guān)于的方程組，解方程組求得，進(jìn)而得到橢圓方程；

（2）設(shè)直線，代入橢圓方程可得與；

①由可得，代入與中，消去即可得到關(guān)于的方程，解方程求得，即可得到所求直線方程；

②利用焦半徑公式可表示出和，從而將所證明式子表示為，代入可化簡得到定值為.

（1）的周長為 ，又

解得：， 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）設(shè)直線的方程為， ，

把代入并化簡得：

則有，

①當(dāng)時，由可得：，則，

消去得：，解得：

直線的方程為或；

②由題意得：

，

由可得，代入上式得：

是定值，定值為