Question

【題目】已知函數(shù)的圖象上有且僅有兩個不同的點關(guān)于直線的對稱點在的圖象上，則實數(shù)的取值范圍是________．

Answer 1

【答案】

【解析】

求出直線關(guān)于直線對稱的直線的方程，然后將問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，利用數(shù)形結(jié)合思想可求出實數(shù)的取值范圍.

直線關(guān)于直線對稱的直線的方程為，即，對應(yīng)的函數(shù)為.

所以，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點.

對于一次函數(shù)，當時，，且.

則直線與函數(shù)的圖象交點的橫坐標不可能為.

當時，令，可得，

此時，令.

當時，，當時，；當時，.

此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

函數(shù)的極小值為；

當時，，當時，；當時，.

此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

函數(shù)的極大值為.

作出函數(shù)和函數(shù)的圖象如下圖所示：

由圖象可知，當或時，即當或時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點.

因此，實數(shù)的取值范圍是.

故答案為：.