Question

（選修4-2：矩陣與變換）曲線x²+4xy+2y²=1在二階矩陣的作用下變換為曲線x²-2y²=1．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）求M的逆矩陣M^-1．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P（x，y）為曲線x²-2y²=1上任意一點(diǎn)，P′（x′，y′）為曲線x²+4xy+2y²=1上與P對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，所以

x=x′+ay′ y=bx′+y′

，由此能夠求出a和b的值．
（2）由detM=

.

1 2 0 1

.

=1×1-2×0=1≠0，知M-1=

1 1 -2 1 0 1 1 1

，由此能求出M的逆矩陣M^-1．

解答：解：（1）設(shè)P（x，y）為曲線x²-2y²=1上任意一點(diǎn)，
P′（x′，y′）為曲線x²+4xy+2y²=1上與P對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，
則

1 a b 1

 

x′ y′

=

x y

，
即

x=x′+ay′ y=bx′+y′

，
代入（x′+ay′）²-2（bx′+y′）²=1，
得（1-2b²）x^'2+（2a-4b）x′y′+（a²-2）y^'2=1，
∵方程x²+4xy+2y²=1，
∴

1-2b2=1 2a-4b=4 a2-2=2

，
解得a=2，b=0．
（2）∵detM=

.

1 2 0 1

.

=1×1-2×0=1≠0，
∴M-1=

1 1 -2 1 0 1 1 1

=

1 -2 0 1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查求實(shí)數(shù)a，b的值和求M的逆矩陣M^-1，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意矩陣變換性質(zhì)的靈活運(yùn)用．