Question

如圖所示，已知點(diǎn)P為菱形ABCD外一點(diǎn)，且PA⊥面ABCD，PA=AD=AC，點(diǎn)F為PC中點(diǎn)，則二面角CBFD的正切值為（　�。�

• A．

  3

  6

• B．

  3

  4

• C．

  3

  3

• D．

  2

  3

  3

Answer 1

分析：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)平面的法向量的夾角公式即可得出二面角的余弦，進(jìn)而利用平方關(guān)系及商數(shù)關(guān)系即可得出．

解答：解：如圖所示，連接AC，AC∩BD=O，連接OF，
以O(shè)為原點(diǎn)，OB、OC、OF所在直線為x，y，z距離空間直角坐標(biāo)系，
不妨設(shè)PA=AD=AC=1，則BD=

3

．
則B(

3

2

，0，0)，F(0，0，

1

2

)，C(0，

1

2

，0)，D(-

3

2

，0，0)．

OC

=(0，

1

2

，0)且為平面BOF的一個(gè)法向量，由

BC

=(-

3

2

，

1

2

，0)，

FB

=(

3

2

，0，-

1

2

)．
設(shè)平面BCF的法向量為

n

=(x，y，z)，則

n • BC =- 3 2 x+ 1 2 y=0 n • FB = 3 2 x- 1 2 z=0

，
不妨取x=1，則y=

3

=z．∴

n

=(1，

3

，

3

)．
∴cos＜

n

，

OC

＞=

n • OC

| n | | OC |

=

21

7

，sin＜

n

，

OC

＞=

2 7

7

，
∴tan＜

n

，

OC

＞=

2 3

3

．
故選D．

點(diǎn)評：熟練掌握通過建立空間直角坐標(biāo)系利用兩個(gè)平面的法向量的夾角公式即可得出二面角的余弦的方法是解題的關(guān)鍵．