Question

三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排,

(1)如果女生必須全排在一起,可有多少種不同的排法?

(2)如果女生必須全分開,可有多少種不同的排法?

(3)如果兩端都不能排女生,可有多少種不同的排法?

(4)如果兩端不能都排女生,可有多少種不同的排法?

Answer 1

(1)(捆綁法)因?yàn)槿齻�(gè)女生必須排在一起,所以可以先把她們看成一個(gè)整體、這樣同五個(gè)男生合在一起共有六個(gè)元素,排成一排有種不同排法.對于其中的每一種排法,三個(gè)女生之間又都有種不同的排法,因此共有·=4 320種不同的排法.

(2)(插空法)要保證女生全分開,可先把五個(gè)男生排好,每兩個(gè)相鄰的男生之間留出一個(gè)空當(dāng),這樣共有4個(gè)空當(dāng),加上兩邊兩個(gè)男生外側(cè)的兩個(gè)位置,共有六個(gè)位置,再把三個(gè)女生插入這六個(gè)位置中,只要保證每個(gè)位置至多插入一個(gè)女生,就能保證任意兩個(gè)女生都不相鄰.由于五個(gè)男生排成一排有種不同排法,對于其中任意一種排法,從上述六個(gè)位置中選出三個(gè)來讓三個(gè)女生插入都有種方法,因此共有·=14 400種不同的排法.

(3)法一:(位置分析法)因?yàn)閮啥瞬荒芘排��?所以兩端只能挑選5個(gè)男生中的2個(gè),有種不同排法,對于其中的任意一種排法,其余六位都有種排法,所以共有·=14 400種不同的排法.

法二:(間接法)3個(gè)女生和5個(gè)男生排成一排共有種不同的排法,從中扣除女生排在首位的種排法和女生排在末位的種排法,但這樣兩端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情況時(shí)被扣去一次,在扣除女生排在末位的情況時(shí)又被扣去一次,所以還需加一次回來.由于兩端都是女生有種不同的排法,所以共有=14 400種不同的排法.

法三:(元素分析法)從中間6個(gè)位置中挑選出3個(gè)來讓3個(gè)女生排入,有種不同的排法,對于其中的任意一種排法,其余5個(gè)位置又都有種不同的排法,所以共有=14 400種不同的排法.

(4)法一:因?yàn)橹灰�求兩端不都排女�?所以如果首位排了男生,則末位就不再受條件限制了,這樣可有種不同的排法;如果首位排女生,有種排法,這時(shí)末位就只能排男生,這樣可有種不同的排法、因此共有=36 000種不同的排法.

法二:3個(gè)女生和5個(gè)男生排成一排有種排法,從中扣去兩端都是女生的排法有種,就能得到兩端不都是女生的排法種數(shù)為=36 000種.

解析:

解決排列、組合(組合下一節(jié)將學(xué)到,由于規(guī)律相同,順便提及,以下遇到也同樣處理)應(yīng)用問題最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法.

若以位置為主,需先滿足特殊位置的要求,再處理其他位置.解決有兩個(gè)以上約束條件的問題時(shí),往往在考慮一個(gè)約束條件的同時(shí)要兼顧其他條件.

若以元素為主,需先滿足特殊元素的要求、再處理其他的元素.