Question

建造一個容積為6400立方米，深為4米的長方體無蓋蓄水池，池壁的造價為每平方米200元，池底的造價為每平方米100元．
（1）把總造價y元表示為池底的一邊長x米的函數(shù)；
（2）蓄水池的底邊長為多少時總造價最低？總造價最低是多少？

Answer 1

分析：（1）水池總造價函數(shù)為y=池底造價+池壁造價，代入整理即可；
（2）由（1）得出總造價函數(shù)y=1600(x+

1600

x

)+160000，應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性的定義研究其單調(diào)性，從而得出這個函數(shù)在（0，40]上是減函數(shù)，在[40，+∞）增函數(shù)，可求得函數(shù)的最小值以及對應(yīng)的x的值．

解答：解：（1）由已知池底的面積為1600平方米，底面的另一邊長為

1600

x

米，--------（1分）
則池壁的面積為8(x+

1600

x

)平方米．------------------------------------（3分）
所以總造價：y=1600(x+

1600

x

)+160000（元），x∈（0，+∞）．-------------（5分）
（2）設(shè)0＜x₁＜x₂，則

y1-y2=1600(x1+ 1600 x1 )-1600(x2+ 1600 x2 )=1600[(x1-x2)+ 1600(x2-x1) x1x2 ] =1600(x1-x2)(1- 1600 x1x2 ).

--（7分）
當(dāng)0＜x₁＜x₂≤40時，x₁-x₂＜0，1-

1600

x1x2

＜0，得y₁-y₂＞0，即 y₁＞y₂．----------（9分）
當(dāng)40＜x₁＜x₂時，x₁-x₂＜0，1-

1600

x1x2

＞0，得y₁-y₂＜0，即 y₁＜y₂．---（11分）
從而這個函數(shù)在（0，40]上是減函數(shù)，在[40，+∞）增函數(shù)，當(dāng)x=40時，y_min=288000．
所以當(dāng)池底是邊長為40米的正方形時，總造價最低為288000元．---------------（14分）

點評：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查函數(shù)解析式的求解及常用方法，考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，屬于基礎(chǔ)題．