Question

將圓x²+y²-2x+4y=0按向量

a

=(-1，2)平移后得到圓O，直線(xiàn)l與圓O相交于A、B，若在圓O上存在點(diǎn)C，使

OC

=

OA

+

OB

=λ

a

，求直線(xiàn)l的方程及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)C坐標(biāo)．

Answer 1

分析：先求出平移后的圓的方程，設(shè)出直線(xiàn)的方程，并把它代入圓的方程利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)的解析式，把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入圓的方程，可解得m值，即得點(diǎn)C坐標(biāo)．

解答：解：將圓的方程x²+y²-2x+4y=0化為（x-1）²+（y+2）²=5，
∴圓x²+y²-2x+4y=0按向量

a

=(-1，2)平移后得到圓x²+y²=5，
∵

OC

=

OA

+

OB

=λ

a

，又|

OA

|=|

OB

|=

5

，
∴AB⊥OC，

OC

∥

a

，
∴直線(xiàn)l的斜率k=

1

2

，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=

1

2

x+m，
由

y= 1 2 x+m x2+y2=5

得 5x²+4mx+4m²-20=0，△=16m²-20（4m²-20）＞0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=-

4m

5

，y1+y2=

8m

5

∴

OC

=(-

4m

5

，

8m

5

)，∵點(diǎn)C(-

4m

5

，

8m

5

)在圓上，∴(-

4m

5

)2+(

8m

5

)2=5
解得m=±

5

4

，滿(mǎn)足△=16m²-20（4m²-20）＞0
當(dāng)m=

5

4

時(shí)，l的方程為2x-4y+5=0，點(diǎn)C坐標(biāo)為（-1，2）；
當(dāng)m=-

5

4

時(shí)，l的方程為2x-4y-5=0，點(diǎn)C坐標(biāo)為（1，-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，直線(xiàn)和圓相交的性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．