Question

如圖,在三棱錐A－BCD中,側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜邊,且AD＝,BD＝CD＝1,另一個(gè)側(cè)面是正三角形

(1)求證：AD^BC

(2)求二面角B－AC－D的大小

(3)在直線(xiàn)AC上是否存在一點(diǎn)E,使ED與面BCD成30°角？若存在,確定E的位置；若 

不存在,說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1)見(jiàn)解析    (2) 所求二面角的大小是

(3) 上存在點(diǎn),且時(shí),與面成角.

【解析】本試題主要考查了立體幾何中的線(xiàn)線(xiàn)的垂直的證明，以及二面角的求解問(wèn)題，線(xiàn)面角的求解的綜合運(yùn)用。

（1）利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理得到證明。

（2）合理的建立空間直角坐標(biāo)系，表示平面的法向量，借助于向量的數(shù)量積的性質(zhì)定理，表示法向量的夾角，得到二面角的平面角的大小。

（3）對(duì)于探索性問(wèn)題，可以假設(shè)存在，然后在此基礎(chǔ)上，我們進(jìn)一步分析斜向量和平面的法向量，利用線(xiàn)面角的大小求解得到。

解： (1)方法一:作面于,連

又,則是正方形.

則

 

方法二:取的中點(diǎn),連、,

則有

(2)作于,作交于,

則就是二面角的平面角.

是的中點(diǎn),且∥

則

由余弦定理得

(3)設(shè)為所求的點(diǎn),作于,連.則∥

就是與面所成的角,則.

設(shè),易得

解得

故線(xiàn)段上存在點(diǎn),且時(shí),與面成角.

解法二:

（1）作面于,連、、,則四邊形是正方形,且,

以為原點(diǎn),以為軸,為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖,

則

 

(2)設(shè)平面的法向量為則由知:;

同理由知:可取同理,可求得平面的一個(gè)法向量為由圖可以看出,二面角的大小應(yīng)等于<>

則<>,即所求二面角的大小是.

(3)設(shè)是線(xiàn)段上一點(diǎn),則

平面的一個(gè)法向量為

要使與面成角,由圖可知與的夾角為,

所以

則,解得,,則

故線(xiàn)段上存在點(diǎn),且,時(shí)與面成角.