Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，過(guò)點(diǎn)A的直線交⊙O于點(diǎn)P，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，且AB²=AP•AD
（Ⅰ）求證：∠ABC=∠ACB
（Ⅱ）如果∠ABC=60°，⊙O的半徑為1，且P為弧AC的中點(diǎn)，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接BP，由已知等式變形得到比例式，再由一對(duì)公共角相等，得三角形ABD與三角形APB相似，由相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到一對(duì)角相等，再利用圓周角定理得到一對(duì)角相等，等量代換即可得證；
（Ⅱ）由第一問(wèn)的結(jié)論得到AB=AC，再由∠ABC=60°，得到三角形ABC為等邊三角形，由P為弧AC中點(diǎn)，利用弧，圓心角及弦之間的關(guān)系得到BP為角平分線，求出∠ABC=30°，進(jìn)而確定出三角形ABP為直角三角形，確定出BP為圓的直徑，確定出BP的長(zhǎng)，再利用30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AP的長(zhǎng)，李艷艷余弦定理求出AB的長(zhǎng)，代入已知等式中計(jì)算即可求出AD的長(zhǎng)．

解答：解：（Ⅰ）證明：連接BP，
∵AB²=AP•AD，∴

AB

AP

=

AD

AB

，
又∵∠BAD=∠PAB，
∴△ABD∽△APB，
∴∠ABC=∠APB，
∵∠ACB=∠APB，
∴∠ABC=∠ACB；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：AB=AC，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=60°，
∵P為弧AC的中點(diǎn)，
∴∠ABP=∠PAC=

1

2

∠ABC=30°，
∴∠BAP=90°，
∴BP是圓O的直徑，
∴BP=2，
∴AP=

1

2

BP=1，
在Rt△PAB中，由勾股定理得：AB=

3

，
∴AD=

AB2

AP

=3．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及含30度直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．