Question

【題目】設(shè)橢圓： 的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，過(guò)與垂直的直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，且恰好是線段的中點(diǎn)．

（1）若過(guò)三點(diǎn)的圓恰好與直線相切，求橢圓的方程；

（2）在（1）的條件下， 是橢圓的左頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作與軸不重合的直線交橢圓于兩點(diǎn)，直線分別交直線于兩點(diǎn)，若直線的斜率分別為，試問(wèn)： 是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）為定值，且定值為.

【解析】【試題分析】（1）依據(jù)題設(shè)條件建立方程求解；（2）運(yùn)用直線與橢圓的位置關(guān)系進(jìn)行分析推證：

解析：（1）由題意知： ， 是線段的中點(diǎn)，設(shè)， ，則，因?yàn)?/span>，

所以.

由題意知： 外接圓的圓心為斜邊的中點(diǎn)，半徑等于.

因?yàn)檫^(guò)三點(diǎn)的圓恰好與直線相切，所以到直線的距離等于半徑，即，解得， ， ，

所以，橢圓的方程為.

（2）設(shè)，直線的方程為，由消去得：

，

所以， ，

由三點(diǎn)共線可知： ，即，

同理可得： ，所以，

因?yàn)?/span>，

所以，故為定值，且定值為