Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中．

（1）若函數(shù)為偶函數(shù)，求實數(shù)的值；

（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；

（3）若方程有且僅有一個解，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）0；（2）時，最大值為0， 時，最大值為；（3）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)得到，從而得到參數(shù)值；（2）根據(jù)函數(shù)表達(dá)式知道在和時均為開口向上的二次函數(shù)的一部分，直接比較， ， 中的較大值即可；（3）可化為有且僅有一個解，分類討論，去掉絕對值，變量分離，轉(zhuǎn)化為求值域問題即可。

（1）由是上偶函數(shù)，可得，則，則，

此時，是上的偶函數(shù)，滿足題意．

（2）

在和時均為開口向上的二次函數(shù)的一部分，

因此最大值為， ， 中的較大值，

， ， ，

由，則最大值為， 中的較大值，

則時，最大值為0， 時，最大值為．　

（3）可化為，

時等號成立，則為一解，由方程僅有一解可得時方程無解，

時， 無解，即無解， 時， 取值范圍為，則無解時；

時， 無解，即無解， 時， 取值范圍，則無解時．綜上， ．