Question

如圖所示：邊長(zhǎng)為2的正方形ABFC和高為2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且DE=，ED//AF且∠DAF=90°。

   （1）求BD和面BEF所成的角的余弦；

   （2）線段EF上是否存在點(diǎn)P使過P、A、C三點(diǎn)的平面和直線DB垂直，若存在，求EP與PF的比值；若不存在，說明理由。

	1,3,5

 

Answer 1

解析：1.先假設(shè)存在，再去推理，下結(jié)論： 2.運(yùn)用推理證明計(jì)算得出結(jié)論，或先利用條件特例得出結(jié)論，然后再根據(jù)條件給出證明或計(jì)算。

答案：（1）因?yàn)锳C、AD、AB兩兩垂直，建立如圖坐標(biāo)系，

則B（2，0，0），D（0，0，2），

E（1，1，2），F(xiàn)（2，2，0），

則

設(shè)平面BEF的法向量

，則可取，

∴向量所成角的余弦為

。

即BD和面BEF所成的角的余弦。

   （2）假設(shè)線段EF上存在點(diǎn)P使過P、A、C三點(diǎn)的平面和直線DB垂直，不妨設(shè)EP與PF的比值為m，則P點(diǎn)坐標(biāo)為

則向量，向量

所以。

 點(diǎn)評(píng)：本題考查了線線關(guān)系，線面關(guān)系及其相關(guān)計(jì)算，本題采用探索式、開放式設(shè)問方式，對(duì)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)解題提出了較高要求。