Question

如圖所示：邊長(zhǎng)為2的正方形ABFC和高為2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且DE=

2

，ED∥AF且∠DAF=90°．
（1）求BD和面BEF所成的角的余弦；
（2）線段EF上是否存在點(diǎn)P使過P、A、C三點(diǎn)的平面和直線DB垂直，若存在，求EP與PF的比值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）AC、AD、AB兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面BEF的法向量，求出向量

DB

和

n

=(2，0，1)所成角的余弦即為BD和面BEF所成的角的正弦值．
（2）設(shè)EP與PF的比值為m，表示出p的坐標(biāo)，求出

AP

，

BP

坐標(biāo)，令

DP

與

AP

，

BP

的數(shù)量積為0，列出方程，求出m的值．

解答：解：（1）因?yàn)锳C、AD、AB兩兩垂直，建立如圖坐標(biāo)系，

則B（2，0，0），D（0，0，2），
E（1，1，2），F(xiàn)（2，2，0），
則

DB

=(2，0，-2)，

BE

=(-1，1，2)，

BF

=(0，2，0)
設(shè)平面BEF的法向量

n

=(x，y，z)，
則

-x+y+2z=0 y=0

令z=1得

n

=(2，0，1)，
∴向量

DB

和

n

=(2，0，1)所成角的余弦為

2•2+0-2

22+12 22+(-2)2

=

10

10

．
即BD和面BEF所成的角的正弦

10

10

．
所以BD和面BEF所成的角的余弦

3 10

10

（2）假設(shè)線段EF上存在點(diǎn)P使過P、A、C三點(diǎn)的平面和直線DB垂直，不妨設(shè)EP與PF的比值為m，
則P點(diǎn)坐標(biāo)為(

1+2m

1+m

，

1+2m

1+m

，

2

1+m

)，

則向量

AP

=(

1+2m

1+m

，

1+2m

1+m

，

2

1+m

)，
向量

CP

=(

1+2m

1+m

，-

1

1+m

，

2

1+m

)，
所以2

1+2m

1+m

+0

1+2m

1+m

+(-2)

2

1+m

=0，所以m=

1

2

．
所以存在p，求EP與PF的比值

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線線關(guān)系，線面關(guān)系及其相關(guān)計(jì)算，本題采用探索式、開放式設(shè)問方式，對(duì)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)解題提出了較高要求．