Question

已知直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，是線段上的一點(diǎn)，，且點(diǎn)M在直線上，（1）求橢圓的離心率；（2）若橢圓的焦點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在單位圓上，求橢圓的方程.

Answer 1

（本小題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、對稱問題等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力）

解：設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

（ I）由知是的中點(diǎn)，     ………………1分

 由  得： …………………4分

     …………5分

點(diǎn)的坐標(biāo)為

又點(diǎn)在直線上：           …6分

  

                        ……7分

（II）由（1）知，不妨設(shè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，

設(shè)

關(guān)于直線 的對稱點(diǎn)為，………………8分

則有  

解得：       ……………11分

由已知， 

， 

.     ………13分

所求的橢圓的方程為       ……………14分