Question

（2012•瀘州一模）設函數(shù)f（x）的定義域為D，若存在非零實數(shù)l使得對于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈M，且f（x+l）≥f（x），則稱f（x）為M上的l高調(diào)函數(shù)．現(xiàn)給出下列命題：
①函數(shù)f(x)=(

1

2

)x為R上的1高調(diào)函數(shù)；
②函數(shù)f（x）=lgx為（0，+∞）上的m（m＞0）高調(diào)函數(shù)；
③函數(shù)f（x）=sin2x為R上的π高調(diào)函數(shù)；
④若函數(shù)f（x）=x²為[-1，+∞）上的m高調(diào)函數(shù)，那么實數(shù)m的取值范圍是[2，+∞）．
其中正確命題的序號是

①②③④

（寫出所有正確命題的序號）．

Answer 1

分析：①函數(shù)f(x)=(

1

2

)x為減函數(shù)，存在負實數(shù)l使得對于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈M，且f（x+l）≥f（x），滿足高調(diào)函數(shù)定義；
②根據(jù)對數(shù)函數(shù)f（x）=lgx的圖象可得對數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，且滿足高調(diào)函數(shù)定義，故f（x）=lgx為（0，+∞）上的m（m＞0）高調(diào)函數(shù)；
③由正弦函數(shù)知函數(shù)f（x）=sin2x為R上的π高調(diào)函數(shù)；
④函數(shù)f（x）=x²為[-1，+∞）上m高調(diào)函數(shù)，只有[-1，1]上至少需要加2．

解答：解：函數(shù)f（x+l）=(

1

2

)x+l，f(x)=(

1

2

)x，
要使f（x+l）≥f（x），需要(

1

2

)x+l≥(

1

2

)x恒成立，只需l≤0；
即存在l使得f（x+l）≥f（x）在R恒成立，
∴函數(shù)f(x)=(

1

2

)x是R上的1（l≤0）高調(diào)函數(shù)，故①正確；
∵f（x）=lgx為增函數(shù)，∴當m＞0時，lg（x+m）≥lgx，
∴函數(shù)f（x）=lgx為（0，+∞）上的m（m＞0）高調(diào)函數(shù)，故②正確；
∵sin2（x+π）≥sin2x，
∴函數(shù)f（x）=sin2x為R上的π高調(diào)函數(shù)，故③正確；
∵如果定義域為[1，+∞）的函數(shù)f（x）=x²為[-1，+∞）上m高調(diào)函數(shù)，
只有[-1，1]上至少需要加2，
那么實數(shù)m的取值范圍是[2，+∞），故④正確，
綜上，正確的命題序號是①②③④．
故答案為：①②③④

點評：此題屬于新定義的題型，涉及的知識有：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，以及基本初等函數(shù)的性質(zhì)，其中認真審題，弄清新定義的本質(zhì)，找到判斷的標準是解本題的關鍵．