Question

已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)一切正整數(shù)都成立。

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)為何值時(shí)，最大？并求出 的最大值。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）時(shí)，取得最大值

【解析】本試題主要是考查了關(guān)系式的遞推運(yùn)用，以及數(shù)列單調(diào)性的綜合運(yùn)用。

（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012091822083288445021/SYS201209182209212583647021_DA.files/image005.png">，對(duì)與n賦值，然后可知結(jié)論。

（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，分析通項(xiàng)公式的特點(diǎn)可知，數(shù)列為等差數(shù)列，然后分情況討論得到和式。

解：

（Ⅰ）取，得                 ①    

取，得                              ②

由②①，得                             ③

（1）若，由①知

（2）若，由③知                         ④

由①、④解得，；或

綜上可得，；或；或                        ……………………………5分

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）知

當(dāng)時(shí)，有，

所以，即，

所以

令，則

所以數(shù)列是單調(diào)遞減的等差數(shù)列（公差為），從而

 

當(dāng)時(shí)，，

故時(shí)，取得最大值，且的最大值為

………………………….12分