Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax+

1

x2

+

a

x

+b（x∈R，且x≠0），若實數(shù)a、b使得f（x）=0有實根，則a²+b²的最小值為（　�。�

• A、

  4

  5

• B、

  3

  4

• C、1
• D、2

Answer 1

分析：先整理函數(shù)方程解析式，設x+

1

x

=t進而可知t的范圍，要使f（x）=0有實根需判別式大于等于0且小根小于-2或大根大于2，進而根據(jù)韋達定理確定a和b的范圍，求得f（t）=t²+at+b-2=0的，根據(jù)t的范圍確定：±

a2-4b+8

=2t+a≥ta+b+k²-2=0則a²+b²的最小值即為原點到該直線的距離的平方，進而根據(jù)d（t）的范圍求得a²+b²的最小值．

解答：解：f(x)=x2+ax+

1

x2

+

a

x

+b=（x+

1

x

）2+a（x+

1

x

）+b-2
設x+

1

x

=t，則t≥2或t≤-2
則有f（t）=t²+at+b-2
∵t²+at+b-2=0有實根，
∴△=a²-4（b-2）≥0，且小根小于-2或大根大于2
∴|a|≥4或|a|≤4且b≤6
f（t）=t²+at+b-2=0的解為t=-

1

2

（a±

a2-4b+8

），則|t|≥2．
將此方程作為關于a、b的方程，化簡得：±

a2-4b+8

=2t+a≥ta+b+t²-2=0
則a²+b²的最小值即為原點到該直線的距離的平方，
得d（t）=

|t2 -2|

t2+1

≥d²（t）=t²-5+

9

t2+1

≥d²（t）min=

4

5

，當|t|=2時，等號成立．
故選A

點評：本題主要考查了方程與函數(shù)的綜合運用．解題的關鍵利用了數(shù)形結合的方法，把a²+b²的最小值看做原點到該直線的距離的平方．