Question

已知向量

a

=（cosωx，

3

sin（π-ωx）），

b

=（cosωx，sin（

π

2

+ωx）），（ω＞0），函數(shù)f（x）=2

a

•

b

+1的最小正周期為2．
（1）求ω的值；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

1

2

]上的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用兩個向量的數(shù)量積公式，三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)的解析式為f（x）=2sin（ωx+

π

6

）+2，根據(jù)它的最小正周期等于2求出ω的值．
（2）根據(jù)x∈[0，

1

2

]，可得 πx+

π

6

∈[

π

6

，

2π

3

]，求出sin（πx+

π

6

）的范圍，即可求得函數(shù)的值域．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=2

a

•

b

+1=2[cos²（ωx）+

3

sinωx•cosωx]+1
=2•

1+cos2ωx

2

+2•

3

2

sin2ωx+1=2sin（2ωx+

π

6

）+2，
由于它的最小正周期等于2，故有

2π

2ω

=2，∴ω=

π

2

，
故f（x）=2sin（ πx+

π

6

）．
（2）∵x∈[0，

1

2

]，∴πx+

π

6

∈[

π

6

，

2π

3

]，∴

1

2

≤sin（ πx+

π

6

）≤1，
∴3≤2sin（1+

π

6

）+2≤4，故函數(shù)的值域?yàn)閇3，4]．

點(diǎn)評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，三角函數(shù)的周期性和求法，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．