Question

已知向量

a

=（cos（-θ），sin（-θ）），

b

=(cos(

π

2

-θ)，sin(

π

2

-θ))．
（1）求證：

a

⊥

b

．
（2）若存在不等于0的實數(shù)k和t，使

x

=

a

+（t²+3）

b

，

y

=（-k

a

+t

b

），滿足

x

⊥

y

，試求此時

k+t2

t

的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數(shù)量積公式求出

a

•

b

，利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡得數(shù)量積為0，利用向量垂直的充要條件得證．
（2）利用向量垂直的充要條件列出方程，利用向量的運(yùn)算律化簡方程，將方程中的k用t表示，代入

k+t2

t

，利用二次函數(shù)最值的求法求出最小值．

解答：解：（1）證明∵

a

•

b

=cos（-θ）•cos（

π

2

-θ）+sin（-θ）•sin(

π

2

-θ)=sinθcosθ-sinθcosθ=0．
∴

a

⊥

b

．
（2）解由

x

⊥

y

得

x

•

y

=0，
即[

a

+（t²+3）

b

]•（-k

a

+t

b

）=0，
∴-k

a

2+（t³+3t）

b

2+[t²-k（t+3）]

a

•

b

=0，
∴-k|

a

|2+（t³+3t）|

b

|2=0．
又|

a

|2=1，|

b

|2=1，
∴-k+t³+3t=0，
∴k=t³+3t．
∴

k+t2

t

=

t3+t2+3t

t

=t²+t+3=(t+

1

2

)22+

11

4

．
故當(dāng)t=-

1

2

時，

k+t2

t

有最小值

11

4

．

點評：本題考查向量垂直的充要條件、向量的運(yùn)算律、二次函數(shù)最值的求法．