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        1. 設(shè)函數(shù)y=f(x)對于x>0有意義,且滿足條件:f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),
          ①證明:f(1)=0;         
          ②求f(4)的值;
          ③如果f(x)+f(x-3)≤2,求x的取值范圍.
          分析:(1)將x=1代入條件,化簡即得f(1)=0;
          (2)令x=y=2代入題中條件,算出f(4)=2f(2),結(jié)合f(2)=1即可算出f(4)的值;
          (3)根據(jù)函數(shù)對應(yīng)法則,得f(x)+f(x-3)=f(x(x-3)),將不等式右邊的2化成f(4),結(jié)合函數(shù)的定義域與單調(diào)性建立關(guān)于x的不等式組,解之即可得到實數(shù)x的取值范圍.
          解答:解:①令x=1代入題中條件,得f(y)=f(1)+f(y) 得f(1)=0;
          ②令x=y=2代入題中條件,
          得f(2×2)=f(2)+f(2),得f(4)=2f(2)
          ∵f(2)=1,∴f(4)=2f(2)=2
          ③∵f(x)+f(x-3)≤2,
          ∴f(x(x-3))≤f(4)
          結(jié)合f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),可得
          x(x-3)≤4
          x>0
          x-3>0

          解之得 3<x≤4,實數(shù)x的取值范圍為(3,4].
          點(diǎn)評:本題給出抽象函數(shù),求函數(shù)的值并求解關(guān)于x的不等式.著重考查了函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)值的求法等知識,屬于中檔題.利用“賦值法”使抽象函數(shù)問題具體化,是解決這類問題的關(guān)鍵所在.
          練習(xí)冊系列答案
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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)y=f(x)對任意正實數(shù)x,y都有f(x•y)=f(x)+f(y),已知f(8)=3,則f(
          2
          )
          等于(  )

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)y=f(x)對任意的實數(shù)x,都有f(x)=
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          f(x-1)
          ,且當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=27x2(1-x).
          (1)若x∈[1,2]時,求y=f(x)的解析式;
          (2)對于函數(shù)y=f(x)(x∈[0,+∞)),試問:在它的圖象上是否存在點(diǎn)P,使得函數(shù)在點(diǎn)P處的切線與 x+y=0平行.若存在,那么這樣的點(diǎn)P有幾個;若不存在,說明理由.
          (3)已知 n∈N*,且 xn∈x[n,n+1],記 Sn=f(x1)+f(x2)+…+f(xn),求證:0≤Sn<4.

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          設(shè)函數(shù)y=f(x)對一切實數(shù)x都有f(3+x)=f(3-x)且方程恰有6個不同的實根,則這6個根之和為
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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)y=f(x)對任意實數(shù)x,都有f(x)=2f(x+1),當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=
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          x2(1-x).
          (Ⅰ)已知n∈N+,當(dāng)x∈[n,n+1]時,求y=f(x)的解析式;
          (Ⅱ)求證:對于任意的n∈N+,當(dāng)x∈[n,n+1]時,都有|f(x)|≤
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          ;
          (Ⅲ)對于函數(shù)y=f(x)(x∈[0,+∞),若在它的圖象上存在點(diǎn)P,使經(jīng)過點(diǎn)P的切線與直線x+y=1平行,那么這樣點(diǎn)有多少個?并說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年湖南省郴州市汝城一中高三(上)周練數(shù)學(xué)試卷(4)(理科)(解析版) 題型:解答題

          設(shè)函數(shù)y=f(x)對任意的實數(shù)x,都有,且當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=27x2(1-x).
          (1)若x∈[1,2]時,求y=f(x)的解析式;
          (2)對于函數(shù)y=f(x)(x∈[0,+∞)),試問:在它的圖象上是否存在點(diǎn)P,使得函數(shù)在點(diǎn)P處的切線與 x+y=0平行.若存在,那么這樣的點(diǎn)P有幾個;若不存在,說明理由.
          (3)已知 n∈N*,且 xn∈x[n,n+1],記 Sn=f(x1)+f(x2)+…+f(xn),求證:0≤Sn<4.

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