Question

已知函數(shù)．
（1）判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)？若存在求出a的值，不存在請說明理由；
（3）在（2）的條件下，若恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)值大于0恒成立，可得函數(shù)是定義在R上的增函數(shù)
（2）根據(jù)奇函數(shù)的定義，我們令f（x）+f（-x）=0，由此構(gòu)造關(guān)于a的方程，解方程可得a的值
（3）根據(jù)（2）中條件可得函數(shù)的解析式，進(jìn)而可將不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為m＞-4^x+2^x+1=恒成立，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)及恒成立的實(shí)際意義，可得實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解答：解：（1）函數(shù)是定義在R上增函數(shù)，理由如下：
∵
∴=＞0恒成立
∴函數(shù)是定義在R上增函數(shù)．
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)
則f（0）=0
即=0
解得a=
此時(shí)，
f（x）+f（-x）=+=1-1=0恒成立
故存在a=使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)
（3）由（2）得
由恒成立，得
2^x+1＜4^x+m，即m＞-4^x+2^x+1=-（2^x）²+2^x+1=恒成立
故
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，函數(shù)恒成立問題，其中熟練掌握函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義及證明方法是解答的關(guān)鍵．