Question

已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，給出以下命題：
①若a²+b²＞c²，則△ABC一定是銳角三角形；
②若b²=ac，則△ABC一定是等邊三角形；
③若cosAcosBcosC＜0，則△ABC一定是鈍角三角形；
④若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）≥1，則△ABC一定是等邊三角形，
其中正確的命題是

③④

．

Answer 1

分析：逐個(gè)驗(yàn)證：①由條件僅能推出一個(gè)銳角顯然不足以判為銳角三角形；
②可舉反例說(shuō)明其不正確；
③cosAcosBcosC＜0，可推cosA，cosB，cosC中必恰有一個(gè)為負(fù)值，即必有一個(gè)角為鈍角；
④由cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）≥1結(jié)合三角形內(nèi)角的范圍可得cos（A-B）=cos（B-C）=cos（C-A）=1，可得答案．

解答：解：若a²+b²＞c²，由余弦定理可知cosC=

a2+b2-c2

2ab

＞0，即角C為銳角，不能推出其他角均為銳角，故①為假命題；
由b²=ac，不能推出△ABC一定是等邊三角形，不妨取a=1，b=

2

，c=2，顯然b²=ac成立，但△ABC不是等邊三角形，故②假命題；
若cosAcosBcosC＜0，則cosA，cosB，cosC中必恰有一個(gè)為負(fù)值，即△ABC一定是鈍角三角形，故③為真命題；
若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）≥1，則cos（A-B）=cos（B-C）=cos（C-A）=1，可得A=B=C，故④為真命題．
故答案為：③④

點(diǎn)評(píng)：本題為三角形知識(shí)的應(yīng)用，正確利用正余弦定理和三角函數(shù)的知識(shí)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．