Question

省環(huán)保研究所對市中心每天環(huán)境放射性污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合放射性污染指數(shù)f（x）與時(shí)刻x（時(shí)）的關(guān)系為f（x）=|

x

x2+1

-a|+2a+

2

3

，x∈R，其中a是與氣象有關(guān)的參數(shù)，且a∈]，若取每天f（x）的最大值為當(dāng)天的綜合放射性污染指數(shù)，并記作M（a）．
（1）令t=

x

x2+1

，x∈R，求t的取值范圍；
（2）省政府規(guī)定，每天的綜合放射性污染指數(shù)不得超過2，試問：目前市中心的綜合放射性污染指數(shù)是否超標(biāo)？

Answer 1

分析：（1）先取倒數(shù)，然后對得到的函數(shù)式的分子分母同除以x，再利用導(dǎo)數(shù)求出

1

t

的取值范圍，最后根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)性求出t的范圍即可；
（2）f（x）=g（t）=|t-a|+2a+

2

3

．下面分類討論：當(dāng) 0＜a＜

1

4

，當(dāng)

1

2

＞a≥

1

4

，分別求出函數(shù)g（x）的最大值M（a），然后解不等式M（a）≤2即可求出所求．

解答：解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，t=0；（2分）
當(dāng)0＜x≤24時(shí)，

1

t

=x+

1

x

．對于函數(shù)y=x+

1

x

，∵y′=1-

1

x2

，
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y′＜0，函數(shù)y=x+

1

x

單調(diào)遞減，
當(dāng)1＜x≤24時(shí)，y′＞0，函數(shù)y=x+

1

x

單調(diào)遞增，
∴y∈[2，+∞）．
綜上，t的取值范圍是[0，

1

2

]．
（2）當(dāng)a∈（0，

1

2

]時(shí)，f（x）=g（t）=|t-a|+2a+

2

3

=

3a-t+ 2 3 ，0≤ t≤a    t+a+ 2 3 ，a≤t≤ 1 2

∵g（0）=3a+

2

3

，g（

1

2

）=a+

7

6

，
g（0）-g（

1

2

）=2a-

1

2

．
故M（a）=

g( 1 2 )，0≤a≤ 1 4 g(0) 1 4 ＜ a≤ 1 2

=

a+ 7 6 ，0≤a≤ 1 4 3a+ 2 3 1 4 ＜ a≤ 1 2

當(dāng)且僅當(dāng)a≤

4

9

時(shí)，M（a）≤2，
故a∈（0，

4

9

]時(shí)不超標(biāo)，a∈（

4

9

，

1

2

]時(shí)超標(biāo)．

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及分類討論的思想，屬于實(shí)際應(yīng)用題．