Question

省環(huán)保研究所對(duì)市中心每天環(huán)境放射性污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合放射性污染指數(shù)f（x）與時(shí)刻x（時(shí)）的關(guān)系為f（x）=|

x

x2+1

-a|+2a+

2

3

，x∈[0，24]，其中a是與氣象有關(guān)的參數(shù)，且a∈[0，

1

2

]，若用每天f（x）的最大值作為當(dāng)天的綜合放射性污染指數(shù)，并記作M（a）．
（1）令t=

x

x2+1

，x∈[0，24]，求t的取值范圍；
（2）省政府規(guī)定，每天的綜合放射性污染指數(shù)不得超過(guò)2，試問目前市中心的綜合放射性污染指數(shù)是否超標(biāo)？

Answer 1

分析：（1）當(dāng)x=0時(shí)，求得t=0，當(dāng)0＜x≤24時(shí)，把t=

x

x2+1

的分子分母同時(shí)除以x后利用基本不等式求解t的取值范圍；
（2）把函數(shù)f（x）的解析式中的

x

x2+1

換為t，去絕對(duì)值后得到關(guān)于t的分段函數(shù)，利用每一段內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性求出每一段內(nèi)的最大值，然后根據(jù)a的范圍寫出M（a）的分段函數(shù)解析式，再由每一段的表達(dá)式小于等于2求解a的取值范圍，從而答案可求．

解答：解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，t=0；
當(dāng)0＜x≤24時(shí)，x+

1

x

≥2（當(dāng)x=1時(shí)取“=”），
∴t=

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

∈(0，

1

2

]，即t的取值范圍是[0，

1

2

]．
（2）當(dāng)a∈[0，

1

2

]時(shí)，記g（t）=|t-a|+2a+

2

3

，
則g(t)=

-t+3a+ 2 3 ，0≤t≤a t+a+ 2 3 ，a＜t≤ 1 2

∵g（t）在[0，a]上單調(diào)遞減，在（a，

1

2

]上單調(diào)遞增，
且g（0）=3a+

2

3

，g（

1

2

）=a+

7

6

，g（0）-g（

1

2

）=2(a-

1

4

)．
故M（a）=

g( 1 2 )，0≤a≤ 1 4 g(0)， 1 4 ＜a≤ 1 2

=

a+ 7 6 ，0≤a≤ 1 4 3a+ 2 3 ， 1 4 ＜a≤ 1 2

當(dāng)0≤a≤

1

4

時(shí)，由a+

7

6

≤2，解得0≤a≤

1

4

；
當(dāng)

1

4

＜a≤

1

2

時(shí)，由3a+

2

3

≤2，解得

1

4

＜a≤

4

9

．
∴當(dāng)且僅當(dāng)a≤

4

9

時(shí)，M（a）≤2．
故當(dāng)0≤a≤

4

9

時(shí)不超標(biāo)，當(dāng)

4

9

＜a≤

1

2

時(shí)超標(biāo)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，考查了分段函數(shù)最值得求法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查了計(jì)算能力，是中檔題．