Question

（本題滿分16分）已知,

且.

(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求在處的切線方程；

(Ⅱ)當(dāng)時(shí),設(shè)所對(duì)應(yīng)的自變量取值區(qū)間的長(zhǎng)度為(閉區(qū)間的長(zhǎng)度定義為),試求的最大值；

(Ⅲ)是否存在這樣的，使得當(dāng)時(shí),?若存在,求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

 

 

Answer 1

解: (Ⅰ)當(dāng)時(shí),.

因?yàn)楫?dāng)時(shí),,,

且,

所以當(dāng)時(shí),,且………………………………(3分)

由于,所以,又,

故所求切線方程為,

即………………………………………………………………(5分)

   (Ⅱ) 因?yàn)?sub>,所以,則

當(dāng)時(shí),因?yàn)?sub>,,

所以由,解得,

從而當(dāng)時(shí), …………………………………………(6分)

當(dāng)時(shí),因?yàn)?sub>,,

所以由,解得,

從而當(dāng)時(shí), ………………………………………(7分)

③當(dāng)時(shí),因?yàn)?sub>,

從而 一定不成立……………………………………………………………(8分)

綜上得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),,

故 ………………………………………(9分)

從而當(dāng)時(shí),取得最大值為………………………………………………(10分)

(Ⅲ)“當(dāng)時(shí),”等價(jià)于“對(duì)恒成立”,

即“(*)對(duì)恒成立” ……………………………(11分)

當(dāng)時(shí),,則當(dāng)時(shí),,則(*)可化為

,即,而當(dāng)時(shí),,

所以,從而適合題意……………………………………………………………(12分)

當(dāng)時(shí),.

當(dāng)時(shí),(*)可化為,即,而,

所以,此時(shí)要求………………………………………………………(13分)

當(dāng)時(shí),(*)可化為,

所以,此時(shí)只要求……………………………………………………(14分)

(3)當(dāng)時(shí),(*)可化為,即,而,

所以,此時(shí)要求………………………………………………………(15分)

由⑴⑵⑶,得符合題意要求.

 綜合①②知,滿足題意的存在,且的取值范圍是……………………………(16分)