Question

已知函數(shù)（a＞0，a≠1，m≠1）是奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)m的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并給出證明；
（3）當x∈（r，a-2）時，函數(shù)f（x）的值域是（1，+∞），求實數(shù)r與a的值

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知條件得f（-x）+f（x）=0對定義域中的x均成立，化簡即m²x²-1=x²-1對定義域中的x均成立，解出m，并代入題目進行檢驗．
（2）將對數(shù)的真數(shù)進行常數(shù)分離，先判斷真數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)底數(shù)的范圍確定整個對數(shù)式得單調(diào)性．
（3）由題意知，（r，a-2）?（-∞，-1）  或（r，a-2）?（1，+∞），
當（r，a-2）?（-∞，-1），0＜a＜1，所以f（x）在（r，a-2）為增函數(shù)，，

當（r，a-2）?（1，+∞），a＞3．所以f（x）在（r，a-2）為減函數(shù)，則．
解答：解：（1）由已知條件得f（-x）+f（x）=0對定義域中的x均成立．
所以，
即，
即m²x²-1=x²-1對定義域中的x均成立．
所以m²=1，即m=1（舍去）或m=-1．
（2）由（1）得，
設，
當x₁＞x₂＞1時，，所以t₁＜t₂．
當a＞1時，log_at₁＜log_at₂，即f（x₁）＜f（x₂）．所以當a＞1時，f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)．
同理當0＜a＜1時，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．
（3）因為函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞），
所以①：r＜a-2＜-1，0＜a＜1．
所以f（x）在（r，a-2）為增函數(shù)，要使值域為（1，+∞），
則（無解）
②：1＜r＜a-2，所以a＞3．所以f（x）在（r，a-2）為減函數(shù)，要使f（x）的值域為（1，+∞），
則
所以，r=1．
點評：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及函數(shù)的特殊點