Question

【題目】三角形ABC中，，AC=1，以B為直角頂點作等腰直角三角形BCD（A、D在BC兩側），當∠BAC變化時，線段AD的長度最大值為._______________.

Answer 1

【答案】3

【解析】

△ABC中由正弦定理得BDsin∠ABC＝sin∠BAC，在△ABD中由余弦定理得AD2＝BD2+AC2﹣2BDABcos（90°+∠ABC），可化為5+4sin（∠BAC﹣45°），由此可求得答案．

如圖所示

△ABC中，AB，AC＝1，

由正弦定理得，

∴BCsin∠ABC＝ACsin∠BAC，

∴BDsin∠ABC＝sin∠BAC；

△ABD中，AD2＝BD2+AB2﹣2BDABcos（90°+∠ABC）

＝BD2+2+2BDsin∠ABC

＝AC2+AB2﹣2ACABcos∠BAC+2+2sin∠BAC

＝5﹣2cos∠BAC+2sin∠BAC

＝5+4sin（∠BAC﹣45°），

∴當∠BAC＝135°時AD2最大為9，AD最大值為3，

故答案為：3．