Question

【題目】在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，

（1）若展開(kāi)式中第5項(xiàng)、第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)；（最后結(jié)果用算式表達(dá)，不用計(jì)算出數(shù)值）

（2）若展開(kāi)式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于79，求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．（最后結(jié)果用算式表達(dá)，不用計(jì)算出數(shù)值）

Answer 1

【答案】(1) 當(dāng)時(shí)，最大項(xiàng)系數(shù)為和；當(dāng)時(shí)最大項(xiàng)系數(shù)為.(2) .

【解析】

(1)由成等差數(shù)列可求出或，進(jìn)而可求出展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)；

(2)由可求出，令可求出，從而可求其系數(shù).

解：展開(kāi)式中第項(xiàng)為.

(1) 則第5項(xiàng)、第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為成等差數(shù)列，則，

即，即，解得或.

當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為，此時(shí)系數(shù)為和.

當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為，此時(shí)系數(shù)為.

(2) 前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，其和為79.即，即

，整理得，，解得或(舍去).

設(shè)展開(kāi)式中第項(xiàng)系數(shù)最大，即，解得，，

因?yàn)?/span>，所以，即展開(kāi)式中第9項(xiàng)系數(shù)最大，系數(shù)為.